由A点出发到达直线L,再抵达B点,过A做直线L的对称点A1,链接A1B交L于O点,AO-OB为路径最短.
原理很简单,直线L为AA1的中垂线,根据中垂线或者轴对称的性质可知,L上任意一点到线段AA1两端点距离相等,即有OA=OA1；O1A=O1A1,然后利用两点之间线段最短原则,可得最短路径.注意这里的两点之间线段最短,也可以利用三角形两边之和大于第三边这一性质来解释.
接下来还有这样的问题,如果在直线L上取线段PQ=1,求使四边形APQB周长最小的线段PQ的位置,如下图：
要求这个四边形周长最短,由于AB、PQ的长度均为确定值,故可转化为求AP+BQ的最短问题,可以将A向右平移一个单位得到A1点,这样APQA1就构成了一个平行四边形,即有AP=A1Q,上述问题就变成了求A1Q+BQ的最短问题,也就构成了最一开始的那个基本模型,通过做A1关于L的对称点A2,即可得到Q点,同时也就得到了可以解决这个问题的PQ线段.
下面我们再换一个问题,在直线L上求一点C,使BC-AC的值最大,如下图：
我们连接BA并延长交直线L于C点,此点即为所求,注意这里不再运用轴对称的相关性质了,而是运用了三角形两边之差小于第三边,如BC1-AC1必然小于BA的长,而只有当三点共线的时候才会使两段线段差值达到最大,也就等于BA的长.
虽然后面两个问题看起来并不困难,但是最近总是有很多学生不能很好地通过第一个基本模型来解决后面的问题.我们学习知识最重要的不是做会一道题目,而是要理解每道题目背后最本质的东西,如通过第一个模型我们可以知道求路径最短的类似问题可以运用轴对称以及三角形三边关系的性质来解决,但是如果不能灵活运用这两个知识点来解决其他问题的话,那么“将军饮马”问题对于我们来说依旧只是一个很简单的题目罢了,要做到触类旁通才是我们学习的目的.例如这个轴对称,当O点变为线段PQ的时候,就要想到怎样将一个线段长回归为一个点的问题；同样,三角形三边关系不仅有两边之和大于第三边,更加不要忘记还有一个两边之差小于第三边,这样我们在遇到第三个问题的时候才不会手忙脚乱.
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