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如图所示：AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点．过点E的直线分别交AM、DN于B、C．（1）如图，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：______．（2）试
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更新时间:2024-04-27
问题描述：

如图所示：AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点．过点E的直线分别交AM、DN于B、C．

（1）如图，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：______．

（2）试证明你的猜想．

（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程．

高睿回答：
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　　（1）AD=AB+CD； 　　（2）证明：在AD上截取AF=AB，连接EF． 　　∵AE平分∠BAD， 　　∴∠BAE=∠FAE． 　　在△ABE和△AFE中， 　　AB=AF，∠BAE=∠FAE，AE=AE， 　　∴△ABE≌△AFE， 　　∴∠ABC=∠AFE． 　　∵AB∥CD， 　　∴∠ABC+∠BCD=180°， 　　又∵∠AFE+∠DFE=180°， 　　∴∠DFE=∠BCD． 　　∵DE平分∠ADC， 　　∴∠ADE=∠CDE． 　　在△FDE和△CDE中， 　　∠DFE=∠DCE，∠ADE=∠CDE，DE=DE， 　　∴△FDE≌△CDE， 　　∴DF=CD， 　　∴AF+DF=AB+CD． 　　即AD=AB+CD； 　　（3）证明： 　　第一种情况：当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB． 　　在CD上截取DF=AD，连接EF． 　　∵DE平分∠ADC 　　∴∠ADE=∠CDE 　　在△ADE和△FDE中， 　　DA=DF，∠ADE=∠CDE，DE=DE， 　　∴△ADE≌△FDE． 　　∴EA=EF，∠DAE=∠DFE． 　　∵AE平分∠DAM， 　　∴∠DAE=∠EAM， 　　∴∠DFE=∠EAM， 　　又∵∠BAE+∠EAM=180°，∠DFE+∠CFE=180°， 　　∴∠BAE=∠CFE． 　　∵AM∥DN， 　　∴∠ABC=∠BCD． 　　在△BAE和△CFE中， 　　∠BAE=∠CFE，∠ABC=∠BCD，EA=EF， 　　∴△BAE≌△CFE， 　　∴AB=FC． 　　∵DC=DF+FC， 　　∴DC=AD+AB； 　　第二种情况：当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD． 　　在AB上截取AF=AD，连接EF． 　　∵AE平分∠BAD， 　　∴∠BAE=∠DAE． 　　在△ADE和△AEF中， 　　AF=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE， 　　∴△AEF≌△AED， 　　∴EF=ED， 　　∴∠AFE=∠ADE． 　　∵DE平分∠ADN， 　　∴∠ADE=∠EDN， 　　∴∠AFE=∠EDN， 　　又∵∠AFE+∠BFE=180°，∠EDN+∠EDC=180°， 　　∴∠BFE=∠EDC． 　　∵AM∥DN， 　　∴∠ABC=∠BCD． 　　在△BEF和△CED中， 　　∠BFE=∠EDC，∠ABC=∠BCD，DE=EF， 　　∴△BFE≌△CDE， 　　∴CD=BF． 　　∵AB=AF+FB， 　　∴AB=AD+CD．
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