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如图,已知四边形ABCD、AEFG均为正方形,∠BAG=α(0°<α<180°).(1)求证:BE=DG,且BE⊥DG;(2)设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2,线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S.当α变
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更新时间:2024-04-27
问题描述:

如图,已知四边形ABCD、AEFG均为正方形,∠BAG=α(0°<α<180°).

(1)求证:BE=DG,且BE⊥DG;

(2)设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2,线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S.当α变化时,指出S的最大值及相应的α值.(直接写出结果,不必说明理由)

刘建候回答:
  (1)证明:   证法一:∵四边形ABCD,AEFG均为正方形,   ∴∠DAB=∠GAE=90°,AD=AB,AG=AE,(2分)   ∴将AD、AG分别绕点A按顺时针方向旋转90°,它们恰好分别与AB、AE重合.   即点D与点B重合,点G与点E重合.(3分)   ∴DG绕点A顺时针旋转90°与BE重合,(5分)   ∴BE=DG,且BE⊥DG.(6分)   证法二:∵四边形ABCD、AEFG均为正方形,   ∴∠DAB=∠GAE=90°,AD=AB,AG=AE,(2分)   ∴∠DAB+α=∠GAE+α,   ∴∠DAG=∠BAE,   ①当α≠90°时,由前知△DAG≌△BAE(SAS),(2分)   ∴BE=DG,(3分)   ∴∠ADG=∠ABE,(4分)   设直线DG分别与直线BA、BE交于点M、N,   又∵∠AMD=∠BMN,∠ADG+∠AMD=90°,   ∴∠ABE+∠BMN=90°,(5分)   ∴∠BND=90°,   ∴BE⊥DG,(6分)   ②当α=90°时,点E、点G分别在BA、DA的延长线上,显然BE=DG,且BE⊥DG.   (说明:未考虑α=90°的情形不扣分)   (2)当α=90°时,点E、点G分别在BA、DA的延长线上,形成的图形是一个等腰梯形BDEG,   通过观察比较可知,当α=90°时,S有最大值,且S=12
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