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【已知函数y=f（x）的定义域为R，当x...>
【已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{an}满足a1=f（0），f（an+1）=1f(−2−an)（n∈N*），则a2009的值为______．】
1人问答
更新时间:2024-04-28
问题描述：

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{an}满足a1=f（0），f（an+1）=1f(−2−an)（n∈N*），则a2009的值为______．

贾小珠回答：
网友采纳
　　令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0）， 　　由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a1=f（0）=1． 　　当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1． 　　设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0， 　　0＜f（x2-x1）＜1，f（x2）-f（x1） 　　=f（x1+（x2-x1））-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0． 　　即f（x2）＜f（x1），所以y=f（x）是R上的减函数． 　　由f（an+1）=1f(−2−a
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