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设事件A,B,C两辆独立,且满足ABC=空集,及P(A)=P(B)=P(C)=x,求max(x)
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更新时间:2024-04-25
问题描述:

设事件A,B,C两辆独立,且满足ABC=空集,及P(A)=P(B)=P(C)=x,求max(x)

万旺根回答:
  x最大值为1/2   分析:   x值要保证所有的由A、B、C交或并得到的集合的概率测度在0到1之间.   先考虑A∪B∪C:   P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)   因为ABC=空集,则P(ABC)=0   而A、B、C两两之间相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)   P(CA)=P(C)P(A)   所以有:P(A∪B∪C)=3x-3x²   而0≤P(A∪B∪C)≤1   则0≤3x-3x²≤1   左边不等式解得:0≤x≤1   右边不等式解得:x∈R   则0≤x≤1   其次考虑A∪B:   P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2x-x²   则0≤2x-x²≤1   解得:0≤x≤1/2   同理考虑B∪C、C∪A得到的结果一样   再考虑A∪BC:   P(A∪BC)=P(A)+P(BC)-P(ABC)=x+x²   则0≤x+x²≤1   解得:0≤x≤(-1+√5)/2   同理考虑B∪AC、C∪AB得到的结果一样   最后考虑ABC、AB、BC、CA,对x无要求   综上所述:0≤x≤1/2   则max(x)=1/2   (说明:还可以考虑具有包含关系的集合的概率测度大小,但计算后发现对结果没有影响,这里就不写上去了)
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