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一道高二函数数列综合题方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)=x/a(x+2)有唯一不动点,且x1=1000,x(n+1)=1/f(1/xn),n=1,2,3…求x2011的值注:f(x)的括号x代表自变量,x(n+1)以及xn代表数列中的第n+1项
1人问答
更新时间:2024-04-19
问题描述:

一道高二函数数列综合题

方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)=x/a(x+2)有唯一不动点,且x1=1000,x(n+1)=1/f(1/xn),n=1,2,3…求x2011的值

注:f(x)的括号x代表自变量,x(n+1)以及xn代表数列中的第n+1项和第n项

鞠玉涛回答:
  依题意,方程f(x)=x即方程ax²+x(2a-1)=0有唯一解   显然a≠0   所以2a-1=0a=1/2   ∴f(x)=2x/x+2   ∴xn+1=1/f(1/xn)=xn+1/2   ∴xn+1-xn=1/2   ∴数列{xn}是以1000为首项,1/2为公差的等差数列   ∴xn=1000+1/2(n-1)   令n=2011   得x2011=1000+1005=2005
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