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【∑sinkx=1/2-sin[(n+1/2)x]/2sin(x/2)怎么得出来?∑sinkx=1/2-sin[(n+1/2)x]/2sin(x/2)怎么得出来的?这个式子出现在数学分析华东师大第三版习题全解160页8题】
2人问答
更新时间:2024-03-29
问题描述:

∑sinkx=1/2-sin[(n+1/2)x]/2sin(x/2)怎么得出来?

∑sinkx=1/2-sin[(n+1/2)x]/2sin(x/2)怎么得出来的?这个式子出现在数学分析华东师大第三版习题全解160页8题

李维忠回答:
  这个是用欧拉公式得到的   e^(ix)=cosx+isinx   所以   coskx+i*sinkx=e^(ikx)   从1到n求和得   ∑coskx+i∑sinkx=∑e^(ikx)=[e^(k+1)ix-e^ix]/(e^ix-1)   而e^(ix)-1=e^(ix/2)[e^(ix/2)-e^(-ix/2)]=2i*e^(ix/2)*sinx/2   所以   ∑sinkx   =Im[e^(n+1)ix-e^ix]/(e^ix-1)   =Im[e^ix*(e^(inx)-1)/(e^ix-1)]   =Imi*[e^(ix/2)*(1-e^(inx))/sinx/2]/2   =Re[e^(ix/2)*(1-e^(inx))/sinx/2]/2   =Re[(e^(ix/2)-e^(n+1/2)ix)/2sinx/2]   =[cos(x/2)-cos(n+1/2)x]/2sin(x/2)
卢宏涛回答:
  书上写的是∑sinkx=[sin(x/2)-sin(n+1/2)x]/2sin(x/2)
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