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数学证明题:1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2.
1人问答
更新时间:2024-03-29
问题描述:

数学证明题:1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2.

黄骏回答:
  1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2   证明:   利用立方差公式:   (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]   =(2n^2+2n+1)(2n+1)   =4n^3+6n^2+4n+1   2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1   3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1   4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1   .   (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1   各式相加有   (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n   4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n   =[n(n+1)]^2   1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)]^2/4
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