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关于泰勒展式的一个问题.f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1(0≤x≤1).求证min[f''(x)]≤1/8.谢!题目来源:裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》(第二版)第245页。
1人问答
更新时间:2024-04-20
问题描述:

关于泰勒展式的一个问题.

f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1(0≤x≤1).

求证min[f''(x)]≤1/8.

谢!

题目来源:裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》(第二版)第245页。

黄攀峰回答:
  证明:   f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1   ∴最小值在(0,1)内取得,即存在a∈(0,1)使f(a)=-1,且f‘(a)=0   将f(0),f(1)分别应用x=a处给出一阶Taylor展开:   f(0)=f(a)+f‘(a)a+f‘'(ξ)a²/2=-1+f‘'(ξ)a²/2(0
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