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高数,提示用泰勒公式展开证明.也可以证明这题是错题,并改正这题中的条件再证明.函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,d(f(x))/dx在x=0处为0,证明在开区间(-1,1)内至少有
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更新时间:2024-04-16
问题描述:

高数,提示用泰勒公式展开证明.也可以证明这题是错题,并改正这题中的条件再证明.

函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,d(f(x))/dx在x=0处为0,证明在开区间(-1,1)内至少有一点x0,使得f(x)在该处的三阶导数为0.

贺知明回答:
  结论应该是:   在开区间(-1,1)内至少有一点x0,使得f(x)在该处的三阶导数为3   证明如下:   证明:   将f(x)在x=0处展开成带拉格朗日尾项的泰勒级数   f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2!+f'''(η)x³/3!   =f(0)+f''(0)x²/2!+f'''(η)x³/3!,η∈(0,x)(∵f'(0)=0)   代入x=-1,1,它们分别相应有ξ1,ξ2   ∴0=f(-1)=f(0)+f''(0)/2!-f'''(ξ1)/3!,-1
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