所谓勾股数,就是当组成一个直角三角形的三边长都为正整数时,我们就称这一组数为勾股数.
那么,组成一组勾股数的三个正整数之间,是否具有一定的规律可寻呢?下面我们一起来观察几组勾股数：
规律一：在勾股数（3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）（9,40,41）中,我们发现
由（3,4,5）有：32=9=4+5
由（5,12,13）有：52=25=12+13
由（7,24,25）有：72=49=24+25
由（9,40,41）有：92=81=40+41.
即在一组勾股数中,当最小边为奇数时,它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和.因此,我们把它推广到一般,从而可得出以下公式：
∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）
∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数）
证明（略）
勾股数公式一：（2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1）（n为正整数）
规律二：在勾股数（6,8,10）、（8,15,17）、（10,24,26）中,我们发现
由（6,8,10）有：62=36+2×（8+10）
由（8,15,17）有：82=64=2×（15+17）
由（10,24,26）有：102=100=2×（24+26）
即在一组勾股数中,当最小边为偶数时,它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍,推广到一般,从而可得出另一公式：
∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]
∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）
证明（略）
勾股数公式二：（2n,n2-1,n2+1）（n≥2且n为正整数）
利用以上两个公式,我们可以快速写出各组勾股数.
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