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【已知椭圆x^2/3+y^2=1,过点N(1,0)能否作直线l与椭圆有两个交点P,Q,且OP*OQ=0?求出l的方程OP和OQ均为向量相乘】
1人问答
更新时间:2024-04-25
问题描述:

已知椭圆x^2/3+y^2=1,过点N(1,0)能否作直线l与椭圆有两个交点P,Q,且OP*OQ=0?求出l的方程

OP和OQ均为向量相乘

李作虎回答:
  ∵向量OP·OQ=0,   ∴向量OP⊥OQ,   设P(x1,y1),Q(x2,y2),   则x1x2+y1y2=0,   设直线方程为:y=k(x-1),.(1)   y1=k(x1-1),   y2=k(x2-1),   y1y2=k^2[x1x2-(x1+x2)+1].   x1x2+y1y2=x1x2(1+k^2)-k^2(x1+x2)+k^2=0,.(2)   (1)式代入椭圆方程,   x^2/3+k^2(x-1)^2=1,   (1+3k^2)x^2-6k^2x+3k^2-3=0,   根据韦达定理,   x1+x2=6k^2/(1+3k^2),.(3)   x1x2=3(k^2-1)/(1+3k^2),.(4)   由(3)式、(4)式代入(2)式,   [3(k^2-1)/(1+3k^2]*(1+k^2)-k^2(6k^2/(1+3k^2)+k^2=0,   3(k^4-1)/(1+3k^2)-6k^4/(1+3k^2)+k^2=0,   k^2=3,   ∴k=±√3,   ∴直线l的方程为:y=±√3(x-1).   可以作与椭圆有二交点PQ直线l,且向量OP·OQ=0.
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