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【两个数列{An}{Bn}中,An>0,Bn>0,且An,Bn^2,An+1成等差数列,且Bn^2,An+1,Bn+1^2,成等比数列.问题(1)证明{Bn}是等差数列?问题(2)若A2=3A1=3,求lim(B1+B2+…Bn)/An的值?】
1人问答
更新时间:2024-04-24
问题描述:

两个数列{An}{Bn}中,An>0,Bn>0,且An,Bn^2,An+1成等差数列,且Bn^2,An+1,Bn+1^2,成等比数列.

问题(1)证明{Bn}是等差数列?

问题(2)若A2=3A1=3,求lim(B1+B2+…Bn)/An的值?

胡文东回答:
  1:   因为:An,Bn^2,An+1成等差数列;   所以:An+1-An=2Bn^2;(1)   因为:Bn^2,An+1,Bn+1^2,成等比数列.   所以:(Bn+1^2)*(Bn^2)=(An+1)^2;   因为:An>0,Bn>0   所以:(Bn+1)*Bn=An+1;(2)   所以:Bn*Bn-1=An;(3);   将(2)(3)代入(1)得:   Bn(Bn+1-Bn-1)=2Bn^2;   所以:Bn+1-Bn-1=2Bn;Bn+1-Bn=Bn-Bn-1;   所以{Bn}是等差数列;命题得证;   2:   A2=3A1=3;得:A1=1;A2=3;代入(1)式得:   A2-A1=2B1^2;得B1=1;   将A2=3;B1=1代入(3)式得:   B2*B1=A2;得:B2=2;   由1所证{Bn}为等差数列,所以公差为B2-B1=1;   所以{Bn}的通项为Bn=n;   将Bn=n;Bn-1=n-1;代入(3)式得:   An=n*(n-1);   所以:lim(B1+B2+…Bn)/An=lim(1+2+3+...+n)/[n(n-1)]=lim1/2(n+1)/n-1)   =lim1/2+1/n-1=1/2;   l所以:im(B1+B2+…Bn)/An=1/2;
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