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【如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A...>
【如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转．（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的】
1人问答
更新时间:2024-04-19
问题描述：

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转．

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明．

（2）如图1，设AF=x，四边形CEDF的面积为y．求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围．

（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E，连接AE与CD延长线交于H，如图2，求DH的长．

冯大政回答：
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　　（1）线段EF与AF、BE的关系为：EF2=AF2+BE2．理由如下： 　　延长ED至DG，使DG=DE，连接AG，FG，如图1， 　　∵FD⊥GN， 　　∴FG=EF． 　　∵D是AB中点， 　　∴AD=BD， 　　∵∠ADG=∠EDB， 　　∴△BED≌△AGD， 　　∴AG=BE，∠GAD=∠B． 　　∵△ABC是直角三角形， 　　∴∠BAC+∠B=90°， 　　∴∠BAC+∠DAG=90°， 　　∴AG2+AF2=FG2． 　　∴EF2=AF2+BE2． 　　（2）作FR⊥AB，ES⊥AB，（如图3） 　　∴∠FRA=∠ESB=90°． 　　∵∠A=30°， 　　∴∠B=60°， 　　∴∠SEB=30°， 　　∴SB=12
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