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求教理工大学的数学高手证明题1.若齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A是一个秩为r的型矩阵,则AX=0的任意n-r线性无关的解向量都是AX=0的基础解系.2.设是数域F上线性空间V的线性变换,是V的-子
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更新时间:2024-03-29
问题描述:

求教理工大学的数学高手

证明题

1.若齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A是一个秩为r的型矩阵,则AX=0的任意n-r线性无关的解向量都是AX=0的基础解系.

2.设是数域F上线性空间V的线性变换,是V的-子空间.求证:

1)V的如下两个子集都是V的-子空间:

.

2)若,且可逆,则.

3.证线性空间V的线性变换为数乘变换的充要条件是V的每个非0向量都是的特征向量.

五、简答题

1、多项式(整数)的最大公因式是否唯一?

2、如何求出两个整数的最大公约数?如何求出多个整数的最大公约数?

3、如何求出两个多项式的最大公因式?如何求出多个多项式的最大公因式?

4、整数的最大公约数与整数之间有什么关系?

5、多项式的最大公因式与多项式之间有什么关系?

6、多项式的可约性、多项式的最大公因式、多项式的根那些与基础域有关?

7、什么是对称多项式、初等对称多项式,他们之间有何关系?

8、什么是多项式的典型分解式?

9、一个多项式何时有重根,如何确定一个多项式的根的重数?

10、互素的整数有些什么性质?

11、互素的多项式有些什么性质?

12、素数和不可约多项式有些什么共同性质?

13、那种行列式的初等变换会改变行列式的值?

14、什么叫做齐次线性方程组的解空间?基础解系与解空间的基有何关系?

证明题不用做,谁帮我做完简答题,我就把分给他.

刘杰回答:
  1、多项式(整数)的最大公因式是否唯一?   是   2、如何求出两个整数的最大公约数?如何求出多个整数的最大公约数?   两个整数用辗转相除法.多个整数,前两个用辗转相除法得出最大公约数d1,d1再和第三个数辗转相除得d2,以此类推,可得.   3、如何求出两个多项式的最大公因式?如何求出多个多项式的最大公因式?   方法同上,只是辗转相除的对象成了多项式而已!   4、整数的最大公约数与整数之间有什么关系?   最大公约数能整出这些整数,而且满足这一性质中最大的一个落!   5、多项式的最大公因式与多项式之间有什么关系?   同上!   6、多项式的可约性、多项式的最大公因式、多项式的根那些与基础域有关?   次数大于一的多项式在复数域都都可约,有实数域可以分解为不超过二次多项式的乘积,有理数域整数域则比较复杂,这里说不清楚.   根在不同的域上可以不同,不过在整数域里有根,肯定在有理数域有根(且是相同的根),有理数域上有根,实数域上有相同的根,等等   7、什么是对称多项式、初等对称多项式,他们之间有何关系?   对称多项式对于多项式中有多个变元的多项式而言.通俗的说,不管你怎么交换任意多个变元的位置,多项式始终等于原来的那个.初等多项式我好像没有听过.才大一,见谅!   8、什么是多项式的典型分解式?   估计就是在复数域上分解吧,可以唯一分解成首相系数为一的一次因式的乘积.   9、一个多项式何时有重根,如何确定一个多项式的根的重数?   求导!如果一个多项式的根也是它的1、2.N-1阶倒数的根,而又不是它N阶导数的根,那么这个根就是它的N重根.   10、互素的整数有些什么性质?   最大公约数唯一,且如果P与Q互素,则必存在整数U、V使得:UP+VQ=1   11、互素的多项式有些什么性质?   把上面的V、U改成V(X)、U(X)就可以了.   12、素数和不可约多项式有些什么共同性质?   都不可约!   13、那种行列式的初等变换会改变行列式的值?   交换两行(列),行列式的值反号(偶数次就不变了).把某一行(列)乘以一个常数K,行列式的值变为原来K倍(如果行列式的值为0当然也不会变落)   14、什么叫做齐次线性方程组的解空间?如何求解空间?基础解系与解空间的基有何关系?   把解看作列向量,由这些列向量组成的空间即为解空间.求解的一般方法就是初等行变换成三角矩阵,在求解.基础解系可以作为解空间的基,两者是等价关系.(其实可以认为它们是相同的)
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