标准公式
设A=X3,求X.称为开立方.开立方有一个标准的公式：X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3.（n,n+1是下角标）例如,A=5,5介于1的3次方至2的3次方;之间（1的3次方=1,2的3次方=8）初始值X0可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,都可以.例如我们取X0=1.9,按照公式：第一步：X1=1.9+（5/1.9^2-1.9)1/3=1.75即5/1.9×1.9=1.3850416,1.3850416-1.9=-0.5149584,-0.5149584×1/3=-0.1716528,1.9+(-0.1716528)=1.728.即取2位数值,即1.7.第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71.即5/1.7×1.7=1.73010,1.73-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71.取3位数,比前面多取一位数.第三步：X3=1.71+（5/1.7^2;-1.71)1/3=1.709.第四步：X4=1.709+（5/1.7^2;-1.709)1/3=1.7099这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步,第四步输入值偏小,输出值自动转大.即5=1.7099^3;当然初始值X0也可以取1.1,1.2,1.3,...1.8,1.9中的任何一个,都是X1=1.7>.当然,我们在实际中初始值最好采用中间值,即1.5.1.5+（5/1.5^2;-1.5）1/3=1.7.如果用这个公式开平方,只需将3改成2,2改成1.即X(n+1)=Xn+(A/Xn−Xn)1/2.例如,A=5：5介于2^2;至3^2;之间.我们取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我们最好取中间值2.5.第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位数2.2.第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；即5/2.2=2.272,2.272-2.2=-0.072,-0.072×1/2=-0.036,2.2+0.036=2.23.取3位数.第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236.即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
反馈开方
每一步多取一位数.这个方法又叫反馈开方,即使你输入一个错误的数值,也没有关系,输出值会自动调节,接近准确值.这个方法的依据是根据牛顿切线法得来.也可以通过牛顿二项式定理推出.A=(X±Y)^k=展开,把A即(X±Y)^k展开后代入公式就得到推导过程.X是假想值,Y是误差值.X(n+1)=Xn-(X^k-A)/kX^(k-1)=Xn-f(X)/f'(x)=Xn+(A/X^(k-1)-Xn)1/k（f（x)=X^K-A;f'(X)=KX^(k-1）；就是在开方过程中把牛顿二项式定理转换成为牛顿切线法.（王晓明王蕊珂）关于这个方法的说明;1980年王晓明利用牛顿二项式推出这个公式,找到江西师范大学,一位教授觉得面熟,当场又推演一遍,与牛顿切线法一样.辽宁鞍山的傅钟鹏在他的《数学雅典娜》一书中介绍,陕西未来出版社1994年和天津新蕾出版社.由于是牛顿的公式,作者王晓明不敢贪天之功.所以傅钟鹏老师在文章介绍也明确说明是由牛顿切线法推出.
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