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正弦或余弦定理
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更新时间:2024-04-24
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正弦或余弦定理

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  正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆半径)|推论a:b:c=sinA:sinB:sinC   余弦定理:   a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosA   b^2=a^2+c^2-2*a*c*cosB   c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC   正弦定理   证明   步骤1在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H   CH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理,在△ABC中,b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式.   余弦定理   平面几何证法   在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得:AC2=AD2+DC2b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2b2=c2+a2-2ac*cosBcosB=(c2+a2-b2)/2ac
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