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【函数f(x)=xx+ax+b,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x),求实数a的值并求函数f(x)在区间【1,正无穷大)是增函数】
1人问答
更新时间:2024-04-26
问题描述:

函数f(x)=xx+ax+b,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x),求实数a的值

并求函数f(x)在区间【1,正无穷大)是增函数

何国辉回答:
  (1)f(1+x)=(1+x)^2+a(1+x)+b   f(1-x)=(1-x)^2+a(1-x)+b   所以(1+x)^2+a(1+x)+b=(1-x)^2+a(1-x)+b   1+2x+x^2+a+ax+b=1-2x+x^2+a-ax+b   (4+2a)x=0   恒成立   所以4+2a=0   a=-2   (2)f(x)=x^2-2x+b   令m>n>=1   则f(m)-f(n)=m^2-2m+b-n^2+2n-b   =(m^2-n^2)-2(m-n)   =(m+n)(m-n)-2(m-n)   =(m-n)(m+n-2)   m>1,n>=1   所以m+n>2,m+n-2>0   m>n,m-n>0   所以(m-n)(m+n-2)>0   f(m)-f(n)>0   即当m>n>=1时   f(m)>f(n)   所以f(x)在区间[1,正无穷)上是增函数
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