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如图,,是抛物线(为正常数)上的两个动点,直线AB与x轴交于点P,与y轴交于点Q,且(Ⅰ)求证:直线AB过抛物线C的焦点;(Ⅱ)是否存在直线AB,使得若存在,求出直线AB的方程;
1人问答
更新时间:2024-04-20
问题描述:

如图,,是抛物线(为正常数)上的两个动点,直线AB与x轴交于点P,与y轴交于点Q,且

(Ⅰ)求证:直线AB过抛物线C的焦点;
(Ⅱ)是否存在直线AB,使得若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由。

李运锋回答:
  如图,,是抛物线(为正常数)上的两个动点,直线AB与x轴交于点P,与y轴交于点Q,且(Ⅰ)求证:直线AB过抛物线C的焦点;(Ⅱ)是否存在直线AB,使得若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由。(1)先求解直线AB的方程,来分析过定点。(2)直线方程为   试题分析:(Ⅰ)由题意知,直线的斜率存在,且不为零.设直线的方程为: (,)由,得.∴,  ∴. ∵,∴,∵,∴.∴直线的方程为:.抛物线的焦点坐标为,∴直线过抛物线C的焦点.    (Ⅱ)假设存在直线,使得,即.作轴,轴,垂足为、,∴      ∵,       ∴==.由,得.故存在直线,使得.直线方程为.点评:解决直线与抛物线的位置关系的运用问题,一般都要考查了抛物线的定义的运用,即抛物线上点到焦点的距离等于对其到准线的距离来解答,同时直线与抛物线的位置关系,也要结合设而不求的联立方程组的思想,结合韦达定理得到根与系数的关系,进而得到证明的结论,属于难度试题。
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