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如图,AD是△ABC的角平分线,延长AD交△ABC的外接圆O于点E,过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点F,连接EF、DF.(1)求证:△AEF∽△FED;(2)若AD=6,DE=3,求EF的长;(3)若DF∥BE,试判断
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更新时间:2024-04-20
问题描述:

如图,AD是△ABC的角平分线,延长AD交△ABC的外接圆O于点E,过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点F,连接EF、DF.

(1)求证:△AEF∽△FED;

(2)若AD=6,DE=3,求EF的长;

(3)若DF∥BE,试判断△ABE的形状,并说明理由.

董玉涛回答:
  (1)证明:连接两圆的相交弦CE,   在圆O1中,∠EFD=∠DCE,   在圆O中,∠BAE=∠DCE,   ∴∠EFD=∠BAE.   ∵AE是∠BAC角平分线,   ∴∠BAE=∠CAE.   ∴∠CAE=∠EFD.   ∵∠AEF=∠FED,   ∴△AEF∽△FED.   (2)∵△AEF∽△FED,   ∴DEEF=EFAE
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