(1)由直径AD⊥BC,根据垂径定理得到E为BC中点,又BD与CF平行,得到两对内错角相等,从而利用“AAS”得到三角形BDE与三角形CFE全等,根据全等三角形的对应边相等得到DE=EF,设ED=EF=x,由已知F为OE中点,得到OE=2EF=2x,OD=OA=3x,则AD=6x,再由直径AB所对的圆周角为直角得到∠ABD=90°,又根据垂直定义得到∠AEB=90°,故两个角相等,再根据∠BED为公共角,利用两对对应角相等的两三角形相似得到△ABD∽△BED,由相似得比例列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值,即可求出BD和DE,在直角三角形BDE中,利用勾股定理求出BE的长,进而求出BC的长;
(2)连接BF,根据AB为圆的直径,得到其所对的圆周角为直角,根据直角三角形两锐角互余得到∠BAD+∠ADB=90°又根据AD与BC垂直根据垂直定义得到一个直角,同理可得∠DBE+∠ADB=90°,根据同角的余角相等得到∠BAD=∠DBE,根据角平分线定义得到∠PBD=∠DBE,利用等量代换得到∠BAD=∠PBD,由(1)可知BE垂直平分FD,故BF=BD,根据“等边对等角”得到∠BFD=∠BDF,再根据等角的邻补角相等得到一对角相等,由两对对应角相等的两三角形相似,得到△ABF∽△BPD,由相似得比例变形后得证.
【解析】
(1)∵直径AD⊥BC于E,
由垂径定理得:BE=CE,
又∵BD∥CF,
∴∠ECF=∠EBD,∠EFC=∠EDB,
∴△BED≌△CEF,
∴DE=EF,
设DE=EF=x,
又∵点F是OE的中点,
∴OE=2EF=2x,OD=OA=3x,AD=6x,
∵AD是⊙O直径,
∴∠ABD=90°,
又AD⊥BC,∴∠AEB=90°,
∴∠ABD=∠AEB,又∠BDE=∠BDE,
∴△ABD∽△BED,
∴=,即=,
解得:x=,
在直角三角形BDE中,
根据勾股定理得:BE===,
则BC=2BE=2;
(2)连接BF,AB,
∵AD是⊙O直径,
∴∠ABD=90°,
∴∠BAD+∠ADB=90°
又AD⊥BC,∴∠AEB=90°,
∴∠DBE+∠ADB=90°,
∴∠BAD=∠DBE,
又∵BD平分∠CBP,
∴∠PBD=∠DBE,
∴∠BAD=∠PBD,
由(1)可知:DE=EF,且AD⊥BC,
∴BE是DF的垂直平分线,
∴BF=BD,
∴∠BFD=∠BDF,
∴∠AFB=∠BDP,
∴△ABF∽△BPD,
∴=,即AB•BD=BP•AF.